中学数学はデータまみれ！？
教科書改訂でどう変わった？

～大改定後の中学数学～
データを活用する論理的思考

私たちの身の回りにはたくさんの情報が溢れています。私たち現代人が１日に受け取る情報量は、江戸時代の１年分とも言われているほどです。

ですが、そのような“ビッグデータ”を正しく分析して結論を出し、その結論をもとに改善案を提案できる人材が圧倒的に不足していると言われています。

このことから、文部科学省は今回の大改訂で、中学数学の授業に「データの活用」を重視した変更を行ったのです。

改訂前の中１の教科書には、最後の章にほんの少し触れる程度に「資料の作成」という項目がありましたが、それが「データの活用」という項目に変更されました。

中２にも中３にも、最後の章に「データの活用」があるように、これからの中学数学は、計算問題や文章問題、図形問題ができればいいというわけではなくなりました。

これからの中学数学では、今までの学習項目に加えて、統計やグラフなど複雑なデータの情報を整理してシンプルにしていく授業が行われていきます。

データの情報を活用して整理していく上で必要な論理的思考は、将来、社会人になったときの基本的スキルとしても重要になっていきます。

データを活用する論理的思考の育成が、社会への適応能力や、私たちを取り巻く問題の解決にも繫がっていくのですね。

今回の改訂で新しく追加されたこの項目…

これらは「データの活用」を重視したからこその追加になっているというわけですね。

～中１数学に移行・追加された項目～
素数

今までは小学５年生で学習していた「素数」を、中学１年生で学習するようになりました。新中１生は復習って感じにもなりますね。

ここで少しだけ「素数」を解説していきます。

素数とは…？

１より大きな整数（自然数）で、１またはその数だけが割り切れる数。簡単に言うと、２つしか約数がない数のことです。

約数とは…？

ある数（整数）を割り切ることのできる数（整数）です。

例えば、
「6」の約数は何でしょう？

割り切れる数が約数ですので、

6を割り切ることができる整数は、1、2、3、6なので、6の約数は、1、2、3、6です。割り切れるというのは、余りが0（余りが出ない）ということも確認してください。

では質問を変えます。
「6」は素数でしょうか？

素数というのは、1とその数だけが割り切れる数で、1を含めた２つしか約数がない数でした。

6の約数は、1、2、3、6と4つの約数があるので、「6」は素数ではありません。

では、
「3」は素数でしょうか？

まずは、3の約数を調べます。

3を割り切れる数、つまり約数は1と3だけです。
ですので、「3」は素数であると言えます。

このように素数であるかを判断していきます。

実際に定期テストでは…、

「次の数で素数を全て選びなさい」
「1～30までの整数のうち素数を全て書きなさい」
「1～50までの数のうち素数は全部で何個ですか」

こんな感じで出題されます。

～中１数学に移行・追加された項目～
素因数分解

今まで中学３年生で習っていた「素因数分解」が、中学１年生で学習するようになりました。

ここでは少しだけ素因数分解を解説していきます。

素因数分解とは…？

自然数を素数の積で表すこと。つまり、自然数を素数だけのかけ算で表してあげることを素因数分解といいます。

では、自然数100を素因数分解してみましょう。

素因数分解は「素数だけのかけ算」ですので、こうなります。

つまり、100を素因数分解したら「5²×2²」になるというわけです。

これを「すだれ算」という方法で求めることもできます。100を素数で割って、数字をどんどん小さくしていきます。普通のわり算と違って、すだれ算は下に書いていきます。

ちなみに4は素数ではないので（約数が1、2、4と３つあるので）、左側に置くことはできません。

やり方がつかめたら、カンタンに素因数分解が出来ちゃいますよね！

素因数分解と因数分解

ちなみに中３になると「因数分解」を習います。
因数分解はここでお話しした「素因数分解」とは考え方が全く違うので気を付けてください。

名前が似ているのでややこしいですが、因数分解は素因数分解よりも難しく、同じ意味で捉えてしまうと大変ですので…。

～中１数学に移行・追加された項目～
累積度数

「データの活用」という項目の中で、累積度数、度数分布、確率を学習していきます。

ヒストグラムも出来てきます。
右のようなグラフで、柱状グラフ（ちゅうじょうグラフ）ともいいます。

階級の幅を横、度数を縦とするグラフです。

今回の改訂で新しく追加された「累積度数（るいせきどすう）」は、データの活用の項目の中で、中学１年生の授業ででます。

累積度数とは…？

最初の階級から、ある階級までの度数の合計のこと。
つまり、度数を次々に足した数のことです。

難しいですよね…

階級って？度数って？
頭に「？」が出来ちゃいましたよね…。

度数分布表を見ながら解説していきます。

上の表にあるひとつひとつの区間を「階級」と言います。それぞれの階級に入るデータの個数を、その階級の「度数」っていいます。この階級ごとに整理された表を「度数分布表」といいます。

この表によって、データがどこら辺に集中しているのかがひと目でわかります。例えば、定期テストの点数なんかも「クラスの中でどのくらいの点数が多いか」などがわかるのです。

～中１数学に移行・追加された項目～
度数分布と確率

今までは中２で学習していた「確率」を、中１で学習することになりました。

確率とは…？

何かをしたときに○○の結果が起きる割合のこと。

中１で学習する「確率」は「観察や試行によって得られる確率」となっていて、中２で習う計算中心の学習とは異なり、データの読み取りがメインとなります。

このときの確率を求めるために必要なのが「相対度数」です。

相対度数とは…？

各階級の度数が全体の中でどれだけの割合にあたるかを示す値とのこと。

相対度数は、階級の度数と度数の合計を使って求められます。

下の表は、500円玉と100円玉をそれぞれ何回も投げて、オモテとウラの出た回数をまとめたものです。この表から、500円玉と100円玉ではどちらの方が、オモテが出やすいと言えるでしょうか？

それぞれの相対度数を求めてみます。

＜500円玉のオモテが出た相対度数＞
1229÷2810＝約0.437

＜100円玉のオモテが出た相対度数＞
1433÷3500＝約0.409

500円玉のオモテが出た相対度数は、約0.437
100円玉のオモテが出た相対度数は、約0.409

これを見ると、500円玉の方がオモテが出た相対度数が大きいことがわかりました。このことから、この表においては「500円玉の方がオモテが出やすい」と言えますね。

確率の求め方は中２で詳しく学習します。

～中２数学に移行・追加された項目～
反例

中２からはほとんどの中学生が嫌う「図形の証明」が出てきます。その図形の証明に「反例」が新たに追加されました。

反例を解説させていただくには、証明を少し詳しく知る必要があります。少し長くなりますが、図形の証明について見ていきましょう。

そもそも「証明」ってなに？

証明とは「Ａならば」という仮定から始まり、「Ｂなので」というすでに正しいと認められている根拠（理由）として、「Ｃである」という結論を出していくこと。

つまり…、
「Ａであるなら、Ｂだから、Ｃになるんだよ」
という、仮定→根拠→結論まで導き出していくことを証明っていいます。

「ＡならばＣになる」を導き出すために、Ｂを説明していく感じですね。

では証明の例を一つ紹介します。
アルファベットが出てきても、焦らずにゆっくり確認していきましょう。

では証明していきます。

∠Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＤとする。
△ＡＢＤとＡＣＤで、ＡＤは∠Ａの二等分線だから、

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ　　　　　・・・①
仮定よりＡＢ＝ＡＣ　　　　　・・・②
ＡＤは共通だから、ＡＤ＝ＡＤ・・・③

①、②、③より、△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＤ≡△ＡＣＤ

合同の図形では、対応する角は等しいので、
∠Ｂ＝∠Ｃである。

何だか意味の分からない「≡」という記号が出来てきました。「＝」に一本線を追加した「≡」です。この記号「≡」は「合同」と読みます。

図形の証明には、よく「合同な図形」というのが出てきます。合同な図形というのは、大きさも形もピッタリ重なる図形のこといいます。つまり、辺の長さや角度が全く同じ図形のことです。

例えば、逆さまな三角形でも、向きを変えたらピッタリ重なる！というのが合同な図形です。その「合同」を表す記号が「≡」なのです。

そして数学では、この重なるという言葉を「対応する」といいます。
先ほどの証明問題で、△ＡＢＤと△ＡＣＤの２つの三角形で、点Ｂに対応するのは点Ｃです。辺の場合は、ＡＢに対応するのはＡＣですね。

次からいよいよ「反例」を紹介します。

反例とは…？

ＡならばＢだとしても、その逆のＢならばＡになるとは限らない例のことを「反例」といいます。

まずは反例に関係する「逆」についてお話します。

「Ａならば、Ｂである」
これのＡとＢを逆にしたのが、
「Ｂならば、Ａである」

たとえば、
「二等辺三角形ならば、２つの底角が等しい」
「２つの底角が等しいならば、二等辺三角形である」

「～ならば」が仮定、「～である」が結論です。

二等辺三角形の２つの文章は、どちらもＡ＝Ｂの関係のことを言っていますが、ＡとＢが逆になっていますよね。この仮定と結論を入れ替えた関係のことを「逆」といいます。

この場合の「逆」については成立しています。２つ目の逆にした文章「２つの底角が等しいならば、二等辺三角形である」は正しいからです。

では、次の「逆」は正しいでしょうか？

△ＡＢＣと△ＤＥＦで、
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦならば、∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｂ＝∠Ｅ、∠Ｃ＝∠Ｆである。

これを逆にすると…、

△ＡＢＣと△ＤＥＦで、
∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｂ＝∠Ｅ、∠Ｃ＝∠Ｆならば、△ＡＢＣ≡△ＤＥＦである。

この「逆」が正しいかどうか確認をしていきます。

図を見てみると、∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｂ＝∠Ｅ、∠Ｃ＝∠Ｆは当てはまっていますが、△ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であるとは限らないので、正しいとは言えません。

この「逆」については、仮定と結論をただ入れ替えればいいというわけではなく、その逆が本当に正しいかの確認が必要になります。

この結果によって、あることがらが正しくても、その逆が正しいとは限らないということがわかりますよね。

このように、あることがらの仮定に当てはまるもののうち、結論が成り立たない（間違いがある）場合の例を「反例」といいます。

反例はこんな感じで出題されます。

では確認します。
Ａ＝２、Ｂ＝４の偶数なら、Ａ＋Ｂ＝６なので偶数になりますね。

次に逆を確認してみます。

整数Ａ、整数Ｂで、
Ａ＋Ｂが偶数ならば、ＡもＢも偶数である。

Ａ＋Ｂ＝６の偶数だった場合、ＡとＢには次の組み合わせが考えられます。

Ａ＝１、Ｂ＝５
Ａ＝２、Ｂ＝４
Ａ＝３、Ｂ＝３
Ａ＝４、Ｂ＝２
Ａ＝５、Ｂ＝１
※負の数も入れるともっとありますが…

一番上の「Ａ＝１、Ｂ＝５」の組み合わせが出た時点で奇数ですので、このことがらの「逆」は正しくないことがわかり、「反例」もでました。

一見複雑そうに見えますが、出されたことがらについて、仮定と結論を「逆」にして、それが正しいかを確認し、正しくないならその例を「反例」とするという流れですね。

中２の図形の証明で追加された「反例」ですが、「証明」がちゃんと理解出来れば「反例」はそこまで難しくはないですよ！

～中２数学に移行・追加された項目～
四分位範囲と箱ひげ図

四分位範囲（しぶんいはんい）と、箱ひげ図（はこひげず）が、高校の数Ⅰから中２に移行されました。

中１で学習したヒストグラムと、中２で学習する箱ひげ図。それぞれのグラフの特徴をつかみ、どのような場合にどちらのグラフを使った方が効率的かということも考えられるようにしておくことが必要になってきます。

箱ひげ図とは…？

データの分布をどのあたりの値に集中しているかをひと目で把握することができる図のことです。データが「どれだけ散らばっているか」「どこに偏っているか」が、パッと見でわかるので便利ですよ。

※箱ひげ図は縦に使われることもあります。

中１で学習するヒストグラムとの違いは、複数か１つかの違いです。たとえば、箱ひげ図は、Ａ動物園、Ｂ動物園、Ｃ動物園の来場者数などの複数のデータを比較することができます。それに対してヒストグラムは、Ａ動物園の年ごとの来場者数の変化が分かるグラフです。

箱ひげ図やヒストグラムは、将来のパソコン作業でプログラミングなどにも活用できるので、初めは難しいと感じるかもしれませんが、ひとつひとつ覚えていきましょう！

四分位範囲とは…？

データを小さい方から並べて４等分したときに、真ん中を含む全体のほぼ50％のデータの散らばりを表したもの。箱ひげ図で箱の部分の範囲、つまり、第３四分位数から第１四分位数を引いた数が「四分位範囲」です。

第１四分位数…？第３四分位数…？
これだけじゃわかりませんよね…。

箱ひげ図で見てみましょう！

左端を「最小値」といいます。
右端を「最大値」といいます。
全体の真ん中を「中央値」といいます。
中央値は「第２四分位数」ともいいます。
最小値から中央値（前半部分）の真ん中を「第１四分位数」といいます。
中央値から最大値（後半部分）の真ん中を「第３四分位数」といいます。

「第１四分位数」から「第３四分位数」の範囲を「四分位範囲」といいます。

ここでの「真ん中」というのは、箱ひげ図の見た目の真ん中ではなく、データを小さい方から並び替えたときの真ん中にあたる数値のことをいいます。

例えば、「２、３、６、７、１５」の５つの数値でしたら、真ん中にある数値は「６」ということがわかりますね。つまり、中央値（第２四分位数）は「６」です。

では「４、６、１０、１１」の４つの数値の中央値ってわかりますか？真ん中って、６？１０？どっち？？？

数値の個数が偶数個の場合、真ん中の２つの数値の平均値が中央値になります。この場合は、６と１０の平均値です。６と１０を足して２で割れば求められます。

（６＋１０）÷２＝８

つまり、「４、６、１０、１１」の中央値は「８」になるというわけです！

箱ひげ図の作成手順

次のデータは、８人の生徒の数学のテスト結果です。このデータを使って箱ひげ図を作ってみましょう。

８人のテスト結果（点）
（ 59、30、62、45、84、51、54、78 ）

数字を小さい順に並べるだけです。
（ 30、45、51、54、59、62、78、84 ）

データが8人分（偶数個）なので、中央値は真ん中にある２つの数値の平均値を求めます。真ん中にある２つの数値は、54と59ですね。
（ 30、45、51、54、59、62、78、84 ）

54と59の平均値なので、
（54＋59）÷2＝56.5

中央値（第２四分位数）は「56.5」になります。

第１四分位数は、最小値と中央値の真ん中の数値です。

このテスト結果の最小値は「30」で、中央値は先ほど求めた「56.5」ですが、ここで注意点があります。
第１四分位数（第３四分位数）は、中央値は含めずに求めるということです。

並び替えたデータを見てみます。
（ 30、45、51、54、59、62、78、84 ）
※中央値56.5

第１四分位数は、中央値56.5を含めない前半部分「30、45、51、54」の真ん中の数値なので、45と51の平均値を計算します。
（45＋51）÷2＝48

第１四分位数は「48」になります。

第３四分位数は、中央値と最大値の真ん中の数値です。
第３四分位数も第１四分位数と同様に、中央値を含めずに求めます。

並び替えたデータを見てみます。
（ 30、45、51、54、59、62、78、84 ）
※中央値56.5

第３四分位数は、中央値56.5を含めない後半部分「59、62、78、84」の真ん中の数値なので、62と78の平均値を計算します。
（62＋78）÷2＝70

第３四分位数は「70」になります。

これで四分位数が全てわかりました！

第１四分位数・・・48
第２四分位数・・・56.5（中央値）
第３四分位数・・・70

実際に箱ひげ図を書いてみましょう！

最後に「四分位範囲」を求めてみましょう。
四分位数がわかれば簡単ですよ。

四分位範囲は、第３四分位数から第１四分位数を引いた数なので、
このデータの場合は…

７０－４８＝２２
つまり、四分位範囲は２２ですね！

箱ひげ図の作成や四分位範囲の求め方を身に付けるには、ひとつひとつの手順を理解した上での練習が大切ですね。

～中３数学に移行・追加された項目～
真の値と近似値

中１の資料の活用の章で習っていた「近似値」が、新しい教科書では中３の平方根の章に移行されました。

真の値とか近似値とかって、なんとなく言葉の意味が分かるような気がしますよね。

真の値・・・正確な数値
近似値・・・おおよその数値

その通りです。簡単ですね。
しかし、ここで学習するこの項目は、そんなに単純ではありません。

複雑な計算とかは出てきませんが、言葉の意味がけっこうややこしいので、ひとつひとつ正確に理解を深めていきましょう！

近似値（きんじち）とは…？

近似値とは、簡単に言えばおおよその数値のことですが、もう少し掘り下げて説明しますね！

例えば、消しゴムの長さをミリ単位で計ってみると、25mmでした。
でもこの25mmって正確な数値と言えるのでしょうか？

25.2mmかもしれません。
24.9mmかもしれません。
25.1258mmかもしれません…。

つまり、どんなに精密や定規や計測器で計っても、正確な長さである「真の値」と同じかどうかはわからないのです。

このような不正確な数値（おおよそな数値）を、有効な数値として表したものを『近似値』といいます。

長さや重さなどの測定値だけではなく、円周率（3.14）や、√2なども近似値です。

真の値の範囲

近似値の項目では「真の値の範囲」というものを求める問題がでます。

では、近似値25の真の値を 𝑎 としたときの「真の値の範囲」を求めてみましょう。

ここで必要になるのが四捨五入です。
四捨五入による繰り上げで、25になる最小の数値は「24.5」です。
四捨五入による繰り下げで、25になる最大の数値は「25.4999…」です。

つまり、近似値25の真の値 𝑎 は、24.5以上で25.5未満（※）ということがわかります。
※25.4999…は25.5未満となります。25.4999は25.5を含めないからです。

これで、ある数 𝑎 の小数第１位を四捨五入した近似値が25ならば、𝑎 の範囲はこうなります。

24.5 ≦ 𝑎 ＜ 25.5

不等号の記号に気を付けてください。

24.5以上だから、24.5 ≦ 𝑎
つまり24.5を含めます。

25.5未満だから、𝑎 ＜25.5
つまり25.5を含めません。

問題はこんな感じででます。

答えはさっき出したやつ。

ちょっと練習してみましょう。

誤差の絶対値

真の値の範囲を求める問題では、同時に『誤差の絶対値』を問われることもあります。
ここで言う「誤差」というのは、近似値から真の値を引いた差のことです。

誤差＝近似値－真の値

絶対値は中１の正負の数でやりましたね。
符号（＋や－）をとった数字だけの部分です。
（例）−5の絶対値は5、＋0.7の絶対値は0.7

では、先ほどの、近似値が「25」であるときの「誤差の絶対値」を求めてみましょう。

まず、真の値の範囲を求めます。
ある数 𝑎 の小数第１位を四捨五入した近似値が25ならば、𝑎 の範囲はこうなりましたね。

24.5 ≦ 𝑎 ＜25.5

誤差と言うのは、近似値－真の値でしたよね。
𝑎 に近似値25を入れて、誤差を出してみます。

24.5 ≦ 𝑎
↑ 𝑎 に25を入れます
24.5 ≦ 25

これで、24.5以上25以下であることがわかるので、その差は0.5以下です。
25－24.5＝0.5

もう片方の 𝑎 にも25を入れてみます

𝑎 ＜ 25.5
↑ 𝑎 に25を入れます。
25 ＜ 25.5

これで、25より大きく25.5より小さいので、その差は0.5未満です。
25－25.5＝0.5　　　

これで誤差は0.5以下で0.5未満であることがわかりました。
誤差の絶対値は大きいほうを見るので、0.5以下となります。

答え方は、問題の聞かれ方にもよりますが、こう答えます。

Ｑ：誤差の絶対値はいくつか？
Ａ：0.5以下

Ｑ；誤差の絶対値は最大いくつか？
Ａ：0.5

小数第１位を四捨五入した・・・という問題では、誤差の絶対値は必ず「0.5以下」になりますし、少数第２位を四捨五入した・・・という問題なら、誤差の絶対値は「0.05以下」となるわけです。

有効数字とけた数

測定して得られた近似値を表す数で、意味のある数字を『有効数字』といいます。
また、その数字の個数を『有効数字のけた数』といいます。

有効数字とは、確実に信頼が出来る数字のことです。
例えば、消しゴムの長さがを計って「25mm」だとしたら、それは近似値であることは先ほどやりましたよね。

25mmは、もしかしたら25.13mmかもしれないし、24.85mmかもしれないです。計ったときに使った定規だって、少し曲がっていたり、湿度などで縮んでいたりしていたかもしれません。100％正確な定規なんて存在しませんよね。

つまり、消しゴムの長さを計った時の近似値である「25mm」は信頼ができる数字（意味のある数字）ですが、「25.13mm」や「24.85mm」の小数点以下の数字は信頼ができない数字（意味のない数字）であると言えます。

また「25」という数値は「2」と「5」の２つの数字を使っているので、２けたの数字です。つまり、有効数字のけた数は「２けた」ということになります。

では「25」は有効数字でしょうか？
実は、有効数字をはっきりさせた表し方があるので、解説しますね。

有効数字×10ⁿ の形

有効数字として表すときには、整数の部分は１ケタだけの小数にして、残りのケタは「×10ⁿ」で表すという方法があります。

「25」を有効数字としてはっきりと表すために、以下のようにします。

25は整数部分で2桁なので、整数を1桁の小数にします。

25 → 2.5
2.5にすれば、整数部分は「2」だけの２桁ですね。

次に「×10ⁿ」の形にして、正確なけた数を調整します。

2.5 × 10

これで「25」を有効数字として表した形ができました。

「25」を有効数字を表す形にしたら、
2.5 × 10

他にもやってみましょう。

＜解説＞
有効数字が２桁となっているので、278.13の左から２つの数字だけにします。ここでの注意点は、左から３番目の数字を四捨五入するということです。

有効数字が２桁なので…
278.13の左から２つの数字
＝27

278.13の左から３つ目の数字を四捨五入
→8を四捨五入するので切り上げる。

「278.13」を有効数字２桁にして、左から３つめの数字を四捨五入すると「28」になりました。

今度は、整数部分が１桁の小数と10の何乗かの積の形にします。

2.8 × 10²

これが、278.13を２桁の有効数字にして、整数部分が１桁の小数と10の何乗かの積の形です。

真の値、近似値、有効数字…、いろいろ難しい言葉が出てきましたね。計算は簡単なものですが、真の値の範囲や、有効数字のけた数など、ややこしいモノも多いので、問題をたくさん解いて慣れていきましょうね。